Die 4 Programme (hohe Bildschirm-Aufloesung des ATARI: 640 x-, 400 y-Werte)

GERADE.PRG
HUT.PRG
SAEGEZHN.PRG
PARABEL.PRG

sind aus Vorstudien zu Chaos und Fraktal entstanden. Sie demonstrieren sehr
gut, wie kleinste Veraenderungen in den Eingangsparametern das weitere
Verhalten oft dramatisch beeinflussen koennen.

Allen vier Programmen liegt folgendes Prinzip zugrunde:

In einem Koordinatensystem geht eine Diagonale durch den Ursprung. Ferner wird
ein Graph (Gerade, Hutfunktion, Saegezahn, Parabel) vorgegeben.

Von einem waehlbaren Startpunkt auf der Diagonale wird eine senkrechte Linie
zum Graph gezogen, von dort eine waagrechte zur Diagonale, dann wieder eine
senkrechte zum Graph u.s.w. Der Vorgang wird solange wiederholt (Iteration),
bis entweder die Bildschirmflaeche verlassen, ein Fixpunkt erreicht ist, oder
aber der Benutzer mit ESC abbricht.

Manche Beispiele streben zu einem Fixpunkt, andere zu einem 2-, 3-, 4- oder
5-periodischen Zyklus (musikalisch: ostinato), andere verhalten sich chaotisch:
der Fortgang ist nicht vorhersehbar, musikalisch sind keine Wiederholungen
hoerbar.

Experimentieren Sie mit verschiedenen Eingangsparametern, die sich auch in
Groessenordnungen von 0.1, 0.01, 0.001 unterscheiden sollten.

Alle erreichten Punkte werden ueber MIDI als Toene ausgegeben. Die Lage im
Koordinatensystem bestimmt die musikalischen Parameter: y wird als Tonhoehe
(oben=hoch), die Entfernung vom vorhergehenden Punkt als Tondauer ausgewertet;
Velocitywerte sind random-generiert.

Der MIDI-OUT des ATARI wird mit dem MIDI-IN eines Synthi verbunden. Waehlt man
einen perkussiven Klang (Cembalo, Vibraphon, Gitarre, Harfe, Glocke ...), kann
man das Entstehen der Grafik klar verfolgen.

Musik wird hier durch nicht musikalische Parameter erzeugt. Bei geschickter
Wahl der Eingangsparameter entstehen mitunter sehr reizvolle musikalische
Ablaeufe, besonders bei denjenigen Versionen, die nicht so schnell ihr Ende
finden. Accelerandi und ritardandi, ostinati und rhythmisch freie Folgen
entstehen, gerade bei den Figuren, die laengere Zeit oder auf Dauer chaotisch
verlaufen.

Markdorf, April 1994


Literatur: H.O.Peitgen u.a.: Chaos. Iteration - Sensitivitaet -Mandelbrotmenge,
Heidelberg (Springer) und Stuttgart (Klett) 1992


Die moeglichen Eingangs-Parameter:


GERADE.PRG: y = m * x + b

m: Steigung der Geraden:      m=1: Diagonale (sinnlos, haben wir schon)
			      m>1: von links unten nach rechts oben
			      m<1: von links oben nach rechts unten 
			      m=-1: zweite Diagonale (grafisch und musikalisch      
				   wenig sinnvoll)
b: Versetzung des Schnittpunkts mit der y-Achse:
			      b>0: weiter oben
			      b=0: Ursprung
			      b<0: weiter unten
v: Verzerrung:                v=1: keine Verzerrung. Der neue Punkt
				   wird parallel zur x- und y-Achse gesucht.
			      v>1: x- bzw. y-Wert des neuen Punkts groesser
				   als der entsprechende Wert des vorigen Punkts.
			      v<1: umgekehrt "rueckversetzt"

     Experimentieren Sie mit sehr kleinen v-Werten (auch im Bereich von 2 und
     mehr Stellen nach dem Komma). Wenn v=1 ist, erklingen immer  aufeinanderfolgend
     zwei gleiche Toene, da im Falle Graph >>> Diagonale der  neue Punkt denselben
     y-Wert hat wie sein Vorgaenger. Nicht so bei   Vergroesserung oder
     Verkleinerung von y.

     Versetzung ist nur bei GERADE.PRG eingebaut.

Start-x (-320 < x < +320)

Probieren Sie zunaechst die vorgeschlagenen Parameter; die Ergebnisse sind
erklaert, es entstehen musikalisch interessante Texturen.


HUT.PRG

Hutfunktion:        y = 2 * x      (0 < x < 0.5)
		    y = 2 - 2 * x  (0.5 < x < 1)
Start-x (0 < x < 1)


SAEGEZHN.PRG

Saegezahn-Funktion: y = 2 * x      (0 < x < 0.5)
		    y = 2 * x - 1  (0.5 < x < 1)
Start-x (0 < x < 1)


PARABEL.PRG

Parabel:            y = a * x * (1-x)
a: Scheitelhoehe                    sinnvoll sind Werte 1 < a < 4
				    ab a = 3.8 entsteht Chaos
Start-x (0 < x < 1)
